上次讲到标准误和正态分布 时，我们的假设我们知道母体的均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$。那我们假设一下，当我们不知道母体标准差的时候下面这个问题如何回答？ 一本上古秘籍里写到天狼星人的智商服从正态分布 $\mathcal N(150, \sigma^2)$。方差具体数值因为年代太久，字迹变得模糊而不可知。突然有一天，联合国政府收到一封宇宙中传来的匿名电子邮件，专家破译后得知这封信警告地球，全部天狼星人已经伪装成地球人，到达了 A 国的 B 城市，并已经把该城市所有的地球人心智和灵魂转化成了天狼星人，他们企图之后全部控制地球。为了不引发大规模冲突，联合国政府在一个深夜从 B 城市中随机悄悄绑架了 20 个人。然后让他们进行智力测试，得出的结果是，这些人的智力均值为 $160$，方差为 $20^2$。假设 (1) 这个宇宙中只有地球人和天狼星人可以测智商、(2)地球人的平均智商和天狼星人的完全不同。请问：这些人到底是不是天狼星人？ 我们不知道怎么解决。 像我们学习卡方分布时一样，我们暂时抛开这个问题，学一个概念：$t$ 分布。 t 分布 我们从一个均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布 $\mathcal N(\mu, \sigma^2)$ 中随机取 $N$ 个独立同分布 (i.i.d) 的随机变量 $X_1, X_2, ... , X_N$。这些随机变量构成一个样本。该样本的均值为 $\bar{X}$、方差为 $S^2$。取无数个样本。 $t$ 分布的定义为： $$T = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{S}{\sqrt{N}}}$$ 我们知道 Z-score 的计算为： $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{N}}} = \frac{(\bar{X} - \mu)...